LibRar.Org.Ua — Бібліотека українських авторефератів

Загрузка...

Головна Електроніка. Обчислювальна техніка → Узгоджені конструктивні, аналогічні та комп'ютерні моделі поверхонь

проходить через точки А та B

x =[ xA+ (xB-xA) u] v, y =[ yA+ (yB-yA) u] v, z = t +[zA+ (zB-zA) u-t] v (8)

На прикладі показано випадок, у якому поверхня з конгруенції (8) вилучається не завдяки заданню її внутрішнього рівняння, а найпростішим способом- зануренням у конгруенцію лінії.

У цьому випадку лінію представляють параметричними рівняннями у довільній параметризації. У розглянутому прикладі занурено еліпс

x0=(xC-xE)sinw+(xD-xE)cosw+xE,

y0=(yC-yE)sinw+(yD-yE)cosw+yE, (9)

z0=(zC-zE)sinw+(zD-zE)cosw+zE,

внутрішнє рівняння якого у цьому випадку отримують у параметричному представленні

u=-0.2(0.6sinw-cosw), t=2(sinw+1.4cosw), (10)

при А(0,10,0) та В(-10,10,10), С(0.6,5,0.4), D(-1,5,2.4), E(0,5,0).

Замість усунення параметра w з рівнянь (10), простіше підставити у рівняння конгруенції (8) вирази u і t з (10). У отриманих таким чином рівняннях поверхні (рис.1)

x=2(0.6sinw-cosw)(1-v), y=10(1-v),

z=2v(sinw+1.4cosw)-2(0.6sinw-cosw)(1-v) (11)

два параметра u і t конгруенції замінено одним w, посередництвом якого










Рис. 1

параметризовано занурюваний еліпс.

Параметричні рівняння конгруенції прямих, конструктивним визначником якої є вісь OZ та гвинтова лінія

x =v r cosu, y =v r sinu, z =t+(ku-t)v (12)

Внутрішньому рівнянню

t=ku+b (13)

відповідає відома поверхня косий гелікоїд (рис.2), який при b=0 перетворюється у прямий (мінімальний )(рис.3).












Рис.2 Рис.3

Параметричні рівняння конгруенції бісекант гвинтової лінії, що відіграє роль подвійної фокальної фігури

x=r[cost+(cosu-cost)v], y=r[sint+(sinu-sint)v], z=k[t+(u-t)v] (14)

Внутрішньому рівнянню

u=t+c 0

відповідає лінійчата гвинтова поверхня (рис.4), у конструктивний визначник якої входить в якості напрямної поверхні однопорожнинний гіперболоїд. При c=p поверхня вироджується у косий гелікоїд, а її напрямна- у конус.










Рис.4

Параметричні рівняння конгруенції прямих, визначником якої є фокальні фігури- сфера та вісь OZ, що проходить через центр сфери

, (16)

Внутрішньому рівнянню

u= c+h cosnt (17)

відповідає хвиляста лінійчата поверхня, де n-кількість хвиль. На рис.5 її показано при n=3.

Якщо фокальну сферу замінити на фокальний тор, рівняння конгруенції будуть мати вигляд

, , (18)

Внутрішньому рівнянню (17) конгруенції (18) відповідає поверхня (рис.6) при n=4.












Рис. 5 Рис. 6

Третій розділ присвячено дослїдженню множин і зокрема конгруенцій кіл та їхнім циклічним поверхням. На прикладі найпростішої конгруенції кіл, визначником якої є дві фокальні точки, та її циклічних поверхонь показано переваги параметричної форми представлення в порівнянні з координатною. Невизначеність внутрішньої параметризації координатної форми дозволяє в якості сітки на поверхні, що належить візуалізації, використовувати лише дві з трьох сімей ліній рівня, які не завжди співпадають з характеристичним лінійним каркасом. До незручностей представлення координатною формою слід віднести також не завжди можливу розв'язуваність рівнянь та систем відносно однієї зі змінних, многозначність розв'язань, відсутність загальних алгоритмів розв'язувань.

Основна увага приділена дослідженню циклід Дюпена четвертого порядку. Їхні відомі властивості як єдиної поверхні, що несе на собі дві сім'ї кіл, що співпадають з лініями кривини, як огинаючої двох сімей сфер, дотичних до трьох заданних сфер, при тому центри сфер обох сімей належать конфокальним еліпсу та гіперболі, як поверхні Іоахімсталя, лінії кривини кожної сім'ї яких належать площинам жмутка 1-го порядку, як поверхні, оберненої циліндру, конусу або тору в інверсії, не дали основи для такого конструктивного визначника, який би забезпечував простоту графічних побудов поверхні та був би основою для аналітичної моделі, узгодженої з комп'ютерною.

Для забезпечення узгодженості необхідно вести пошук нових конструктивних моделей. Одна з таких моделей була знайдена у образі конфігурації шести кіл з колінійними центрами, кожне з яких дотикається чотирьох інших. Кола конфігурації, що не дотикаються одне іншого, складають пару.

З належності центрів сфер, що дотикаються трьох заданих, конфокальним еліпсу та гіперболі вибігає: цикліди Дюпена четвертого порядку мають дві взаємно перпендикулярні площини симетрії. Перерізи циклід площинами симетрії мають екстремальні значення радіусів. Звідси пропозиція: дві з трьох пар конфігурації можуть бути прийняті за конструктивний визначник циклід Дюпена четвертого порядку, якщо їх прийняти за перерізи площинами симетрії. Для суміщення з поверхнею цикліди кола однієї з пар конфігурації треба повернути навколо лінії центрів на прямий кут.

Доведено три леми, що встановлюють положення зовнішнього та внутрішнього центрів подібності та радикальної осі відносно центрів пари кіл.

Доведено теорему про проходження радикальної осі кожної з пар конфігурації через один з двох центрів подібності кожної з двох інших.

Нова аналітична модель циклід 4-го порядку базується на полярному рівнянні кола з ексцентричним радіусом-вектором, яке має вигляд (полярна вісь проходить через центр кола)

R=-ecosa, (19)

де R -радіус-вектор точки на колі,

e -координата центра кола відносно полюса (ексцентриситет),

a -кут нахилу радіуса-вектора до полярної осі,

r -радіус кола.

З врахуванням попередніх викладань параметричні рівняння циклід Дюпена четвертого порядку

де-R1, R2, a12-радіуси та міжцентрова відстань кіл, за якими площина еліпса перитинає цикліду, полярне рівняння кола радіуса R1 з ексцентриситетом - , полярне рівняння кола радіуса R2 з ексцентриситетом.

На рис. 7, 8, 9 показано