LibRar.Org.Ua — Бібліотека українських авторефератів

Загрузка...

Головна Електроніка. Обчислювальна техніка → Усереднення в задачах керування системами із запізненням

Дисертаційна робота має, в основному,
теоретичний характер. Розроблені методи можуть бути застосовані для дослідження керованих систем із запізненням, отримані результати можуть бути використані при дослідженні динамічних систем, які описуються звичайними диференціальними рівняннями з запізненням, рівняннями з похідною Хукухари з запізненням і квазідиференціальними рівняннями з запізненням, при побудові оптимальних режимів функціонування цих систем, при конструюванні чисельних методів розв'язування задач оптимального керування, в задачах синтезу і диференціальних іграх.

Особистий внесок здобувача. У публікаціях [2, 4, 5] науковому керівнику В.О. Плотнікову належать постановки задач, визначення загальної ідеї дослідження, у роботі [7] авторові дисертації належить обґрунтування чисельно-асимптотичного методу розв'язання задачі оптимального керування із запізненням, а в роботі [8] авторові належить формулювання і доведення теорем 1 і 2.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідалися й обговорюва-лися на міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" – Чернівці, 1998; The XXVI Summer School "Applications of mathematics in engineering and economics" – Sozopol, 2000 (Болгарія); міжнародній конференції з керування "Автоматика – 2000" – Львів, 2000 р.; міжнарод-ній конференції "Диференціальні й інтегральні рівняння" – Одеса, 2000 р.; International Conference "Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation" – Київ, 2001 р.; VIII міжнародній конфе-ренції "Математика. Комп'ютер. Освіта." – Пущино, 2001 р.; міжнародній конференції "Диферен-ціальні рівняння і нелінійні коливання" – Київ, 2001 р.; міжнародній конференції з керування
"Автоматика – 2001" – Одеса, 2001 р.; 6-й Кримській міжнародній математичній школі "Метод функцій Ляпунова і його застосування", Алушта, 2002 р.; міжнародній конференції П'яті Боголю-бовські читання. Теорія еволюційних рівнянь – Кам'янець-Подільський, 2002 р.; International
Conference "Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation" – Київ, 2003; міжнародній конференції Шості Боголюбовські читання – Чернівці, 2003 р.

Публікації. Результати дисертаційного дослідження опубліковано 18 наукових роботах, з них: 5 статей ([1-5]) у фахових виданнях з переліку ВАК України, 3 роботи ([6-8]) у збірниках наукових праць, [9-18] – тези доповідей на наукових конференціях.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку літератури, який включає 142 найменування. Загальний обсяг дисертації складає 162 сторінки машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ дисертації присвячений огляду першоджерел за темою роботи – дослідження керованих систем, які містять запізнення, задач оптимального керування такими системами, застосування асимптотичних методів до роз'язування вищезгаданих задач, а також огляд досліджень систем, які описуються рівняннями з похідною Хукухари і квазідиференціальними рівняннями, і застосування до них асимптотичних методів; визначено напрямки досліджень дисертаційної роботи та викладено її основний зміст.

В другому розділі викладено обґрунтування методу усереднення для рівнянь керованого руху з постійним, асимптотично великим і змінним запізненням, а також для рівнянь з максимумом, розроблено алгоритми відповідності між керуваннями початкової й усередненої систем для періодичного і неперіодичного випадків, дано обґрунтування чисельно-асимптотич-ного методу розв'язування задачі оптимального керування з термінальним функціоналом на траєкторіях із запізненням.

Нехай тут і далі x – n-вимірний фазовий вектор, >0 – малий параметр, t>0, A – nxm матриця, :[0,L-1]xURm, u є U – вектор керування, U є comp(Rr).

У підрозділі 2.1 розглядається керована система з постійним запізненням:

(t)=[f(t,x(t),x(t-))+A(x(t),x(t-))(t,u(t))], x(s)=(s), -s0, (1.1)

де f:[0,L-1]xRnxRnRn – 2-періодична функція по t, – постійне запізнення, (t,u) – вектор-функція, 2-періодична по t, (s) – задана неперервна вектор-функція.

Системі (1.1) ставиться у відповідність усереднена система:

(y)+A(y,y)v, y(0)=(0), =t, 0L, (1.2)

де , . Інтеграл від многозначного відображення розглядаємо як інтеграл Аумана.

Відповідність між керуванням u(t) системи (1.1) і керуванням v(t) системи (1.2) встановлюється за алгоритмом 1:

1. Кожному керуванню v() системи (1.2) ставиться у відповідність керування u(t) системи (1.1) за умовою:

, i=0,1,…. (1.3)

2. Кожному керуванню u(t) системи (1.1) ставиться у відповідність керування v() системи (1.2) згідно (1.3).

Теорема 2.1. Нехай в області Q={t0, x, y єD, u є U} виконуються умови: 1) функція f(t,x,y) – 2-періодична по t, неперервна, обмежена константою M, задовольняє умові Ліпшіца по x, y з постійною ; 2) функція A(x,y) задовольняє умові Ліпшіца по x, y з постійною , обмежена константою M; 3) функція (t,x) – 2-періодична по t, неперервна за змінними u, t та обмежена константою M; 4) :[-,0]D – неперервна функція; 5) для будь-яких припустимих керувань v() розв'язки y() системи (1.2) при y(0)єD', є[0,L] разом з -околом належать області D.

Тоді існують C>0 і 0>0 такі, що для будь-якого є(0,0] і для кожного t є [0,L-1] справедливі наступні твердження:

1. Для будь-якого припустимого керування u(t)єU системи (1.1) існує керування v(t) системи (1.2) таке, що

||x(t)-y(t)||C, (1.4)

де x(t) – розв'язок системи (1.1), породжений керуванням u(t), а y(t) – розв'язок системи (1.2), породжений керуванням v(t), і x(0)=y(0)єD'.

2. Для будь-якого припустимого керування v()єV системи (1.2) існує керування u(t) системи (1.1) таке, що справедлива оцінка (1.4).

Далі системі (1.1) ставиться у відповідність усереднена система:

(y)+A(y,y)v(w), y(0)=(0) (1.5)

де w()єRm – новий вектор керування, причому ||w()||=1, (w)=, а функція p(t,w) визначається з умови:

((t,p(t,w)),w)=((t,u),w), (1.6)

де – скалярний добуток.

Відповідність між керуваннями u(t,) системи (1.1) і w(t) системи (1.5) встановлюється за алгоритмом 2.

Алгоритм 2.

1. Кожному керуванню w(t) системи (1.5) ставиться у відповідність таке керування u(t,) системи (1.1), що .

2. Кожному керуванню u(t,) системи (1.1) ставиться у відповідність керування w(t) системи (1.5) таким чином: оскільки , то за теоремою Каратеодорі існують , , , rm+1 такі, що .

Будуємо w(t)= t є [2i,2(i+1)], i=0,1,….

Тоді .

Теорема 2.2. Нехай в області Q={t0, x, y єD, u є U} виконуються умови 1)-4) теореми 2.1 і, крім того: 1) для будь-яких припустимих керувань w() розв'язки y() системи (1.5) при y(0)єD', є[0,L] разом з -околом належать області D; 2) виконана умова єдиності, тобто, при всіх wєS1 функція p(t,w) в (1.6) визначена однозначно при майже всіх t є [0,2].

Тоді існують C>0 і 0>0 такі, що для будь-якого є(0,0] і для кожного t є [0,L-1] справедливі наступні твердження:

1. Для будь-якого припустимого керування u(t)єU системи (1.1) існує керування w() системи (1.5) таке, що

||x(t)-y()||C, (1.7)

де x(t) – розв'язок системи (1.1), породжений керуванням u(t), а y() – розв'язок системи (1.5), породжений керуванням w(), x(0)=y(0)єD'.

2. Для будь-якого припустимого керування w()єV системи (1.5) існує керування u(t) системи (1.1) таке, що справедлива нерівність (1.7).

У теоремах 2.1 і 2.2 обгрунтовано метод усереднення для рівнянь керованого руху з постійним запізненням для алгоритмів відповідності керувань 1 і 2.

Для випадку, коли в рівнянні (1.1) функції f(t,x,y) і (t,x) є неперіодичними за часом t, розроблені аналогічні алгоритми відповідності керувань – 3 і 4 та доведені відповідні теореми, які обґрунтовують метод усереднення.

У підрозділі 2.2 дано обґрунтування методу усереднення для рівнянь керованого руху з
постійним асимптотично великим запізненням:

(t)=[f(t,x(t),x(t-),x(t-l/))+A(x(t),x(t-),x(t-l/))(t,u(t))], x(s)=(s,), ,

де є[0,l-1], – вектор-функція, t