LibRar.Org.Ua — Бібліотека українських авторефератів

Загрузка...

Головна Математика. Механіка → *-Алгебри, породжені лінійно пов'язаними проекторами, їх зображення та застосування

Київський національний університет імені Тараса Шевченка






Кириченко Анатолій Анатолійович




УДК 512.6






*-АЛГЕБРИ, ПОРОДЖЕНІ ЛІНІЙНО

ПОВ'ЯЗАНИМИ ПРОЕКТОРАМИ, ЇХ

ЗОБРАЖЕННЯ ТА ЗАСТОСУВАННЯ











01.01.06 — алгебра та теорія чисел












АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук








Київ — 2003


Дисертацією є рукопис.



Роботу виконано у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.



Науковий керівник: член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович,

Інститут математики НАН України, м. Київ,

завідувач відділу функціонального аналізу.




Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

СЕРГІЙЧУК Володимир Васильович,

Інститут математики НАН

України, м. Київ,

провідний науковий співробітник

відділу топології;




кандидат фізико-математичних наук,

БОДНАРЧУК Юрій Вікторович,

Національний Університет

Києво-Могилянська Академія, м. Київ,

завідувач кафедри математики.




Провідна установа: Ужгородський державний університет,

м. Ужгород.



Захист відбудеться 6 січня 2003 року о 14 год. на засіданні вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою 03127, Київ-127, проспект акад. Глушкова 6, механіко-математичний факультет.




З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).



Автореферат розісланий 4 грудня 2003 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.






ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.

Дисертаційна робота належить до одного з напрямків сучасної алгебри — теорії зображень алгебр операторами в гільбертовому просторі. Ця теорія має різноманітні застосування в багатьох галузях математики від теорії груп і алгебраїчної геометрії до топології і математичної фізики. Зокрема, вона знаходить застосування при побудові моделей теоретичної фізики; при побудові символів оборотності сингулярних інтегральних операторів; в теорії квантових однорідних просторів і їх застосуваннях для побудови точних розв'язків диференціальних рівнянь у частинних похідних; при вивчені певних класів несамоспряжених операторів; при побудові топологічних інваріантів вузлів тощо.

У дисертаційній роботі вивчаються алгебри, породжені лінійно пов'язаними ідемпотентами, з інволюцією * (*-алгебри). Зображення відповідних алгебр розглядаються узгодженими з інволюцією *, такою що ідемпотент є проектором (самоспряженим ідемпотентом), що звужує множину зображень, але дозволяє проводити більш детальне їх вивчення. Крім того, факти теорії *-зображень, можуть бути застосовані до вивчення самої алгебри (вже без додаткової структури в ній) та її зображень.

Теорія зображень, зокрема теорія зображень асоціативних алгебр, бере початок наприкінці XIX "--- на початку XX сторіччя у роботах Г. Фробеніуса, І. Шура, В. Бернсайда, Ф. Е. Моліна та інших.

Інволюція, задана на групових алгебрах, дозволяє виділяти унітарні зображення відповідних груп. Розвиток теорії зображень *-алгебр у 30-60 рр. XX сторіччя обумовлений значною мірою її застосуваннями у теорії унітарних зображень груп і пов'язаний з вивченням самоспряжених операторних алгебр, зокрема $C^*$-алгебр та $W^*$-алгебр (Дж. фон Нейман, Дж. Діксм'є, І. М. Гельфанд, М. А. Наймарк, Д. А. Райков, А. А. Кирилов, І. Сігал та інші).

Відкриття у 80-х рр. квантових груп і квантових однорідних просторів (В. Г. Дрінфельд, М. Джимбо, С. Воронович, Л. Д. Фаддєєв, С. Клімек, А. Лісневський та інші) та їх застосування у моделях математичної фізики, теорії спеціальних функцій, моделях q-квантової механіки, квантової теорії поля (Б. Зуміно, Дж. Весс, Е. Віттен, А. У. Клімик та інші) породило нову хвилю у розвитку теорії зображень *-алгебр.

На сучасному етапі роботи по теорії зображень *-алгебр значною мірою пов'язані з вивченням алгебр, заданих твірними і співвідношеннями, та їх зображень. Такі *-алгебри виникають у зв'язку з деформаціями класичних співвідношень квантової механіки (А. Макфарлейн, Л. Біеденхарн, С. Воронович, К. Шмюдген, П. Йоргенсен, Д. Б. Фарлі та інші), аніонними статистиками (Г. Голдін, В. Шарп, Р. Менікофф та інші) і їх застосуваннями, зокрема до дробового квантового ефекту Хола (Р. Логлін, Ф. Вілчек, Б. Халперін, И. Чен, Е. Віттен та інші). Цікаві приклади *-алгебр та їх зображень, пов'язані з теорією вузлів, вивчалися у роботах В. Джонса, Г. Венцля (1980--2000 рр.).

У роботах С. А. Кругляка, В. І. Рабановича, Ю. С. Самойленка (2000-2003 рр.) розв'язуються задачі опису зображень алгебр, які породжені скінченною кількістю самоспряжених ідемпотентів, сума яких кратна одиниці.

У дисертаційній роботі вивчаються алгебри, породжені проекторами або ідемпотентами, лінійна комбінація яких дорівнює одиниці алгебри та їх зображення.

У роботах Рабановича В. І., Самойленка Ю.С. і Стрільця О.В. (2001-2003 рр.) вивчалися алгебри, породжені лінійно пов'язаними ідемпотентами, досліджувався їх ріст, наявність у цих алгебрах поліноміальних тотожностей тощо, але алгебраїчна побудова цих алгебр була вивчена недостатньо, зокрема не було відповіді на питання, чи є серед таких алгебр ненапівпрості. У дисертаційній роботі (перший розділ) описана структура скінченновимірних алгебр, породжених ідемпотентами, лінійна комбінація яких дорівнює одиниці. Зокрема виявилося, що серед алгебр, породжених трійкою лінійно пов'язаних ідемпотентів, є ненапівпрості.

У роботах Галінського Д.В., Кругляка С.А. (1997-1999 рр.) вивчались *-зображення алгебр, породжених четвіркою лінійно пов'язаних проекторів. Для алгебр, породжених n-кою лінійно пов'язаних проекторів, Кругляком С. А. (2002 р.) були введені функтори Кокстера, які є еквівалентностями категорій *-зображень відповідних алгебр.У другому і третьому розділах дисертаційної роботи функтори Кокстера застосовуються для опису зображень таких алгебр.Отримані результати застосовуються до задачі опису трійок проекторіву гільбертовому просторі, сума яких має дві точки спектру.

Все зазначене вище свідчить про актуальність теми дисертаційної роботи.


Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Тематика дисертаційної роботи пов'язана з дослідженнями відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України за темою ``Спектральна теорія операторів та їх застосування до задач математичної фізики'' (номер державної реєстрації 0101U000321) і з наково-дослідницькими роботами кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка ``Комбінаторно-геометричні, категорні та комп'ютерні методи вивчення алгебраїчних структур та їх зображень'' (номер державної реєстрації