LibRar.Org.Ua — Бібліотека українських авторефератів

Загрузка...

Головна Математика. Механіка → Алгебри Лі, асоційовані з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп

15


КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА









Бондаренко Наталія Вячеславівна



УДК 512.554.314






Алгебри Лі, асоційовані

з силовськими р-підгрупами

скінченних симетричних груп





01.01.06 – алгебра і теорія чисел





АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук














Київ – 2006


Дисертацією є рукопис.


Робота виконана на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського

національного університету імені Тараса Шевченка.



Науковий керівник

кандидат фізико-математичних наук

ОЛІЙНИКАндрій Степанович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, доцент кафедри

алгебри та математичної логіки, м. Київ.



Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

БОНДАРЕНКОВіталій Михайлович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

відділу алгебри, м. Київ;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ЛЕОНОВЮрій Григорович,

Одеська національна академія зв'язку

імені О.С. Попова, завідувач кафедри

інформаційних технологій, м. Одеса.



Провідна установа Львівський національний університет

імені Івана Франка, кафедра алгебри і логіки,

м. Львів.



Захист відбудеться "_20_" ___листопада____ 2006 року о __14__ годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при

Київському національному університеті імені Тараса

Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 6,

механіко-математичний факультет.


З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка

за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.


Автореферат розісланий "__6__" ___жовтня___ 2006 року.



Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.В. Плахотник


ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ


Актуальність теми. Ідея побудови кілець Лі, асоційованих з абстрактними групами, виникла у В. Магнуса1. З тих пір ця конструкція широко застосовувалась у різноманітних розділах теорії груп і теорії про-скінченних груп2. Багато властивостей груп відображені у властивостях відповідних їм алгебр Лі. Саме тому алгебри Лі, асоційовані з групами, стали важливим інструментом при дослідженні різноманітних проблем теорії груп. Одним з найбільш важливих результатів, отриманих за допомогою лієвих методів, є теорема E. Зельманова3, яка стверджує, що коли алгебра Лі, асоційована з нижнім p-центральним рядом скінченно-породженої періодичної фінітно апроксимовної p-групи G, задовольняє поліноміальну тотожність, то група G є скінченною. Це дозволяє дати позитивну відповідь на одну з найбільш відомих проблем в теорії груп – послаблену проблему Бернсайда4. Іншим прикладом успішного використання лієвої техніки є критерій аналітичності для про-p-груп знайдений M. Лазаром5.

Розв'язання Е. Зельмановим послабленої проблеми Бернсайда та розвинені при цьому методи сприяли подальшому розвитку теорії груп. Використання алгебр Лі, асоційованих з групами, дозволяє застосовувати лінійні методи в доведеннях і обчисленнях, здійснювати природне переформулювання теоретико-групових питань в лієвих термінах. При переході до розгляду алгебр Лі проблема, що досліджується в групах, як правило, спрощується, з'являється більше обчислювальних можливостей для її розв'язання. Лієві методи виявилися ефективними при вивченні Дж. Уілсоном, Е. Зельмановим, Ю. Мєдвєдєвим та іншими авторами групових тотожностей. Вони використовувались Г. Хігманом в теорії автоморфізмів з нерухомою точкою, Е. Зельмановим та А. Шалевим в теорії кокласів для p-груп і про-p-груп, при дослідженні строго нескінченних (just infinite) про-p-груп, дослідженні таких сучасних понять як розмірність Хаусдорфа


і спектр про-p-груп6. Алгебри Лі, асоційовані з групами, вивчалися в роботах Р.І. Григорчука та Л. Бартольді при дослідженні росту груп7. Було показано, що асимптотика ряду Гільберта-Пуанкаре деякої градуйованої алгебри Лі дає оцінку на ріст груп. Зокрема, це було використано при доведенні того, що в класі фінітно апроксимовних p-груп не існує групи з порядком росту між поліноміальним і . Алгебри Лі, асоційовані з групами, є цікавими також і самі по собі. Досліджена будова алгебр Лі, асоційованих з конкретними групами автоморфізмів однорідних кореневих дерев, групою Григорчука, Гупта-Сідкі, Гупта-Фабриковського8. Використовуючи опис цих алгебр Лі, описані нормальні підгрупи групи Григорчука, показано, що група Григорчука має скінченну ширину, а група Гупта-Сідкі – нескінченну. Дослідження алгебр Лі, асоційованих з групами, є стандартною задачею при дослідженні довільного класу нільпотентно апроксимовних груп. Саме тому дослідженню алгебр Лі, що співставляються різноманітним групам, в наш час приділяється велика увага.

В дослідженнях алгебр Лі, асоційованих з групами, важливу роль відіграють алгебри Лі, асоційовані з p-групами. Особливим класом p-груп є силовські p-підгрупи симетричних груп, що відіграють в теорії скінченних p-груп таку ж роль, як симетричні групи в теорії груп, тобто кожна скінченна p-група є підгрупою силовської p-підгрупи певної симетричної групи. Силовські p-підгрупи Pm симетричних груп , m N, вивчалися Л.А. Калужніним9, який запропонував так зване табличне зображення елементів цих груп та застосував його для дослідження основних властивостей цих груп. В.І. Сущанський10 описав вербальні підгрупи груп Pm, Ю.В. Дмитрук11 дослідив будову


силовських 2-підгруп скінченних симетричних груп, Ю.В. Боднарчук12 дослідив групу автоморфізмів групи Pm (p>2). Силовські p-підгрупи симетричних груп , m N, ізоморфні кратному вінцевому добутку циклічних груп порядку p. Операція вінцевого добутку груп є класичною операцією в теорії груп. Вінцевий добуток алгебр Лі був введений А.Л. Шмелькіним13 ще в 1973 році, проте застосування операції вінцевого добутку в теорії алгебр Лі на сьогоднішній день розглядались мало.

На основі всього вище сказаного природно виникає потреба дослідження алгебр Лі, асоційованих з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп. Зважаючи на зв'язки між групами і відповідними їм асоційованими