LibRar.Org.Ua — Бібліотека українських авторефератів

Загрузка...

Головна Математика. Механіка → Алгебро-топологічні властивості функторів, породжених функціональними просторами

11


Київський університет імені Тараса Шевченка







Левицька Вікторія Соловіївна





УДК 512.58+515.12





АЛГЕБРО-ТОПОЛОГІЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ФУНКТОРІВ, ПОРОДЖЕНИХ ФУНКЦІОНАЛЬНИМИ ПРОСТОРАМИ






01.01.06 - алгебра і теорія чисел








АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук














Київ - 1999


Дисертацією є рукопис.


Робота виконана в Львівському державному університеті імені Івана Франка на кафедрі алгебри і топології.


Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

Зарічний Михайло Михайлович,

завідувач кафедри алгебри і топології

Львівського національного університету імені Івана Франка


Офіційні опоненти:


доктор фізико-математичних наук, професор

Протасов Ігор Володимирович,

професор кафедри дослідження операцій

Київського університету імені Тараса Шевченка


кандидат фізико-математичних наук

Телейко Андрій Богданович,

викладач кафедри автоматизованих систем і програмування

Тернопільської академії народного господарства




Провідна установа

Інститут математики НАН України, відділ алгебри, м.Київ



Захист відбудеться "20" грудня 1999 року о 15.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського університету імені Тараса Шевченка за адресою: 252127, м.Київ – 127, проспект академіка Глушкова, 6, Київський університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.



З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий "_15__" _____11_________ 1999 р.





Вчений секретар

cпеціалізованої вченої ради ____________ А.П.Петравчук







Загальна характеристика роботи


Актуальність теми. Простори неперервних відображень, зокрема, простори неперервних функцій є об'єктами дослідження в різних розділах математики. В алгебраїчній топології простори неперервних відображень виступають важливим засобом для побудови нових топологічних об'єктів (прикладами можуть служити простори петель); при цьому широко використовується властивість їх функторіальності.

Як алгебро-топологічний об'єкт простори неперервних відображень можуть наділятися різними топологіями. Деякі з цих топологій тісно пов'язані з категорними властивостями функціональних просторів. Однією з найважливіших таких топологій є так звана коваріантна топологія, яка під різними назвами і в різному контексті почала розглядатися з 50-х років, а також топологія поточкової збіжності (цій топології присвячено монографію1).

Значну роль функціональні простори відіграють в нескінченновимірній топології. У відомому списку проблем 2 функціональним просторам відведено цілий розділ. Згадаємо тут лише ті проблеми, які безпосередньо пов'язані з функторіальністю функціональних просторів.

Якщо х- недискретний компактний метричний простір, а у- недискретний локально-компактний простір, що є абсолютним околовим ретрактом (ANR) для метричних просторів, то простір неперервних функцій в топології рівномірної збіжності гомеоморфний області в гільбертовому просторі, а отже, має структуру гладкого -многовиду. В згаданій статті Веста сформульовано питання про існування природної (тобто такої, що функторіально залежить від х) гладкої структури на у випадку, коли у не є гладким многовидом.

Нехай - сепарабельний гільбертовий простір і - куля радіуса п в. За теоремою Банаха-Алаоглу, куля компактна в слабкій топології (позначаємо її). Позначимо через пряму границю послідовності компактів, N (від bounded weak). Відомо, що для досить широкого класу просторів х і у множина неперервних відображень в компактно-відкритій топології гомеоморфна -многовидові, зокрема, просторові . Проблема полягає в тому, чи існує природна (функторіальна) топологізація множини, яка перетворює цю множину в - многовид.

Інша проблема стосується просторів кусково-лінійних відображень Категорія поліедрів і кусково-лінійних відображень позначається PL. Якщо х і у - поліедри, то простір PL у компактно-відкритій топології гомеоморфний многовидові, модельованому на просторі ( див. 3 ).

Простір допускає природне посилення топології. Розглянемо простір .

У цитованому вище списку проблем сформульовано питання: чи існує природна (функторіальна) топологізація простору PL.

В дисертації поряд з дослідженнями функторіальних топологізацій функціональних просторів з заданими топологічними властивостями розглядаються також функторіальні диференціальні структури на функціональних просторах. Зазначимо, що задача про існування такої функторіальної диференціальної структури на просторах неперервних відображень зі значеннями в просторі, що не має структури диференційовного многовида також сформульована в 4.

Однією з найважливіших властивостей функціональних просторів, яка широко використовується в математиці, є експоненціальний закон:

що виконуються при певних топологічних обмеженнях на простори X, Y і Z. Цей експоненціальний закон породжує ситуацію спряження функторів множення на простір і функтора простору неперервних відображень в заданий простір.

В теорії категорій для опису спряження використовується поняття монади (трійки, в іншій термінології; означення див. нижче). З іншого боку, поняття монади може також розглядатися як результат абстрагування поняття моноїда.

Кожна монада Т на категорії C породжує дві канонічні ситуації спряження

(UT, FT): CT C (UT, FT): CTC,

де CT - так звана категорія Клейслі монади Т (категорія T-значних відображень або категорія вільних Т-алгебр), а CT - категорія Т-алгебр монади Т (категорія Ейленберга-Мура). Багато авторів розглядали загальну проблему внутрішньої