LibRar.Org.Ua — Бібліотека українських авторефератів

Загрузка...

Головна Математика. Механіка → Алгоритми для систем з тепліцевими ламбда-матрицями та їх застосування

Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова





Ковальчук Ольга Ярославівна





УДК 519.6: 513.3






Алгоритми для систем З ТЕПЛІЦЕВИМИ

l–МАТРИЦЯМИ та ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ



01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи



Автореферат дисертації на здобуття

наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук







Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Тернопільському державному економічному університеті

Міністерства освіти і науки України


Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Недашковський Микола Олександрович,

завідувач кафедри автоматизованих систем і

програмування Тернопільського державного

економічного університету.


Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

Хіміч Олександр Миколайович,

завідувач відділу інституту кібернетики

імені В.М. Глушкова НАН України,

старший науковий співробітник,


Доктор фізико-математичних наук, професор

Григорків Василь Степанович,

завідувач кафедри економіко-математичного

моделювання Чернівецького національного

університету імені Ю.Федьковича.



Провідна установа: Львівський національний університет імені І.Франка, факультет прикладної математики та інформатики, кафедра теорії оптимальних процесів.



Захист відбудеться " 23 " грудня 2005 р. об 1100 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України за адресою:

03680 МСП Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.


З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.



Автореферат розісланий " 9 " листопада 2005 р.



Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Синявський В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ


Актуальність теми. При дослідженнях математичних моделей з використанням методів лінійної алгебри традиційним і завжди актуальним є етап знаходження розв'язків систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Ще зовсім недавно ЕОМ використовувалися в основному для розв'язування різних класів таких задач з початковими даними чисельного характеру.

Останнім часом при проведенні досліджень за допомогою математичного моделювання у фізиці, електротехніці та інших областях науки і техніки виник також стійкий інтерес до використання комп'ютерів для символьних перетворень та одержання аналітичних розв'язків, хоча й у "чистій математиці" завжди гостро відчувалась необхідність у використанні ЕОМ для виконання найбільш трудомісткої чорнової роботи. Однією з перших удалих спроб реалізації такого підходу було створення мови "Аналітик" для машин серії "МИР" в Інституті кібернетики НАН України ще в 60-х роках ХХ ст.

Сьогодні існують й успішно розвиваються декілька напрямів і концепцій для виконання символьних перетворень. З комп'ютерних систем універсального характеру найбільш відомими є Reduce, muMATH, MATHEMATICA, MAPLE, MatLab, MathCad і DERIVE. Їх можна використовувати для розв'язування різних задач комп'ютерної алгебри, у тому числі і для знаходження розв'язків систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Але цей розділ у названих комп'ютерних системах ще не настільки добре розвинутий, як відповідні методи для числових систем.

Так, в останні два десятиліття поряд з розвитком традиційних досліджень методів і розробкою алгоритмів розв'язування СЛАР з матрицями, елементами яких є числа, значний розвиток одержали дослідження для символьних перетворень і знаходження аналітичних розв'язків СЛАР з l матрицями, елементами яких є алгебраїчні та тригонометричні поліноми. Подібні задачі зустрічаються у математичному моделюванні та дослідженні функціонування електронних схем, систем масового обслуговування з очікуванням, перехідних процесах у схемотехніці та інших прикладних задачах.

Такими дослідженнями займались Д.К.Фадєєв, В.М.Фадєєва, С.А.Абрамов, В.М.Кублановська, М.О.Недашковський, Г.І.Малашонок, J.Lipson, J.Smit, D.Mazykelli, P.T.Moenk, J.Carter, S.Cabay, B.Domzy, Е.H.Bareiss, M.T.Macclellan та інші автори.

Серед вказаних досліджень не одержали належного розвитку СЛАР з тепліцевими l матрицями, тобто матрицями, в яких на кожній діагоналі, розташованій паралельно до головної, стоять однакові елементи. Такі матриці повністю визначаються елементами першого стовпця та першого рядка.

СЛАР з тепліцевими матрицями, елементами яких є дійсні числа, зустрічаються в багатьох прикладних задачах і математичних проблемах. Так, наприклад, в обчислювальних задачах прикладної електродинаміки, оптики, акустики, обробки зображень, автоматичного регулювання, побудови авторегресійних фільтрів та в інших прикладних проблемах відповідні задачі часто зводяться до розв'язування СЛАР з тепліцевими матрицями. Континуальними аналогами СЛАР, в яких матриці коефіцієнтів теплицеві, є інтегральні рівняння, ядра яких залежать від різниці аргументів.

З тепліцевими тісно пов'язаний ще один клас матриць – ганкелеві. Простою перестановкою стовпців (стрічок) в оберненому порядку тепліцеву (ганкелеву) матрицю можна перетворити в дві різні ганкелеві (тепліцеві) матриці. Тому для розв'язування СЛАР як з ганкелевими, так і з тепліцевими матрицями можна використовувати одні і ті ж обчислювальні схеми.

Інтерес до теорії тепліцевих і ганкелевих матриць, елементами яких є дійсні числа, і розв'язування СЛАР з цими матрицями завдяки їх широкому застосуванню не послаблюється ще з початку двадцятого століття. Найбільш вагомий внесок у розвиток даної теорії зробили W.Trench, R.Blahut, В.В.Воєводін, Є.Є.Тиртишніков, І.С.Іохвідов та інші.

Оскільки СЛАР з тепліцевими l матрицями є недостатньо вивченими, актуальною задачею є розробка ефективних алгоритмів їх розв'язування на основі використання специфічних властивостей цих матриць.

Поряд з цим задача обертання матриці – відшукання для заданої неособливої матриці оберненої матриці , яку потрібно при цьому розв'язувати, є однією з центральних і важких задач теорії матриць. Важливість її розв'язування хоча б для окремих класів матриць як в теоретичному плані, так і в прикладних задачах (розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь) не викликає сумнівів, тим більше, що проблема в багатьох її аспектах потребує поглибленого дослідження.

Завдяки специфічним