LibRar.Org.Ua — Бібліотека українських авторефератів

Загрузка...

Головна Математика. Механіка → Алгоритмічний підхід у побудові проекційних креслень комбінацій двох тіл

УДК 378.147:515.4

І.Г.Ленчук

АЛГОРИТМІЧНИЙ ПІДХІД У ПОБУДОВІ ПРОЕКЦІЙНИХ КРЕСЛЕНЬ КОМБІНАЦІЙ ДВОХ ТІЛ

Обгрунтовуються алгоритми побудови зображень комбінацій стереометричних тіл як за допомогою традиційних креслярських інструментів, так і "від руки".

Зупинимося на методологічних аспектах виконання плоских зображень комбінацій двох просторових об'єктів курсу стереометрії, одним з яких є куля. Тут учителю потрібно подбати про розвиток просторових уявлень і логіко-геометричного мислення, а також практичних навичок учнів у виконанні графічних операцій у таких напрямках: 1) чітко уявляти кожне тіло з його внутрішніми закономірними взаємозв'язками абстраговано від іншого [1,2] і знати правила побудови зображень цих тіл персонально; 2) вміти зосереджуватися на істотних спільних співвідношеннях і відмежовуватися від несуттєвих одиничних співвідношень між окремими елементами заданих тіл у комбінаціях; 3) "бачити" спільні геометричні елементи тіл комбінації та навчитися (через аналіз) вилучати із умови їх взаєморозташування спільні визначальні елементи поверхонь заданих тіл, фіксувати ці елементи образно в уяві і на зображеннях; 4) за будь-яких умов знаходити оптимальний шлях до побудови вірних, наочних і ненаочних (з урахуванням ситуації) зображень.

Особливо складно будувати проеційні креслення описаних та вписаних поверхонь. Як приклад розглянемо задачу та обгрунтуємо алгоритм побудови навчального креслення правильної трикутної піраміди, описаної навколо кулі, якщо її висота у два рази більша діаметра кулі. При цьому зауважимо, що число вершин в основі правильної піраміди аж ніяк не впливає на структуру алгоритму, а домовленість стосовно взаємозалежності в розмірах висоти піраміди і діаметра кулі є формальним метричним фактором визначеності креслення.

Якщо виконавець малодосвідчений у побудові проеційних креслень М.Ф.Четверухіна чи останні досить складні (що трапляється) об'єктивно і, одночасно, він володіє певними вміннями і навичками у роботі з комплексними кресленнями Г.Монжа, то ключем до вірного і наочного рисунка має служити виконане від руки зображення комплексу куля-піраміда саме на епюрі Г.Монжа (тут вісь комплексу i перпендикулярна площині підлоги (стола) (рис.1)). Якраз за ним значно спрощується аналіз задачі на побудову, і учень розробляє алгоритм графічних операцій, чітко встановивши всі спільні геометричні елементи поверхонь тіл, обов'язкові та визначальні в процесі грамотних дій на картинній площині.

1. Побудова зображення кулі:

а) точку перетину двох взаємно перпендикулярних прямих (див. рис. 2), одна з яких розташована горизонтально, а інша - вертикально, вибираємо за центр кулі О; б) довільно взятий на вертикальній прямій відрізок OY приймаємо за малу піввісь еліпса, в який проеціюється екватор кулі. У прямокутній диметрії його велика піввісь OX = 3OY. З центром у точці О радіусом OX проводимо коло - обрис кулі; в) через точку Y ведемо горизонтальну пряму до перетину з обрисом у точці Z; г) на вертикальній прямій вверх і вниз від точки О відкладемо відрізки ОЕ і ОF, рівні відрізку YZ. Точки Е і F, як відомо з попереднього, зображають полюси кулі.

2. Побудова зображення паралелі, що містить точки дотику кулі та бічних граней піраміди:

а) від точки Е на вертикальній прямій відкладаємо відрізок ES = 2EF, чим визначаємо на зображенні вершину піраміди S; б) сумістимо фронтально проеціюючу площину, в якій лежить вісь обертання кулі EF, з площиною малюнка. Цим самим фактично перейдемо до розгляду комбінації тіл на епюрі Г. Монжа двох взаємно перпендикулярних площин проекцій, з яких фронтальна площина збігається з площиною аркуша паперу (дошки), а профільна - суміщується з нею (тут і нахилена до площини Н під кутом). Одержимо точки E', F', S' як суміщення точок E, F, S відповідно. Площина  паралелі p перпендикулярна до діаметра кулі EF, тому профільною проекцією паралелі є відрізок U'V'  E'F' (U'V' - натуральна величина діаметра паралелі). Тут U' і V' знаходимо як точки дотику дотичних, проведених із точки S' до обрису кулі (для полегшення уяви їх зручно представити твірними конуса з вершиною S', описаного навколо кулі та вписаного в шукану піраміду); в) фіксуємо центр паралелі (О1 , О'1) і, відклавши від точки О1 на горизонтальній прямій відрізки О1Н і О1G, рівні половині діаметра паралелі U'V', одержимо кінці великої осі еліпса, яким зображається паралель p. Малу вісь UV знайдемо оберненим проеціюванням U'V' на EF; г) шукаємо точки I і J видимості, в яких еліпс дотикається обрису кулі; д) за великою GH і малою UV осями будуємо еліпс, який буде зображенням шуканої паралелі і разом з обрисом кулі дасть наочне зображення останньої.

3. Побудова зображення піраміди:

а) в перетині паралелі p з додатним напрямком осі O1x1 ортогональної диметрії знайдемо точку К дотику кулі та лівої грані піраміди (див. рис. 1, 2). Точки L і M, у яких відповідно дотикаються до кулі інші грані піраміди, відшукаємо як вершини правильного трикутника, вписаного в паралель, третьою вершиною якого є точка К. Для цього радіус, що доповнює O1К до діаметра, поділимо навпіл і через одержану точку проведемо пряму, паралельну осі O1y1. У перетині останньої з p одержимо точки L і M; б) опишемо навколо паралелі правильний трикутник ABC, у якого сторона AB // O1y1 і дотикається p в точці К; точка C належить осі абсцис O1x1 і O1C = 2O1К. Крім цього, AC містить точку L, а BC - точку M; в) точку К, що є серединою сторони AB трикутника ABC в основі піраміди, знайдемо в перетині апофеми SК її лівої грані з віссю Ex2; г) у гомотетії Hs з коефіцієнтом будуємо трикутник ABC, гомотетичний трикутнику ABC; д) проводимо із вершини S бічні ребра піраміди.

Рис. 1

Відзначимо, що для кращої наочності проекційного креслення доцільно вважати описану поверхню в комбінації прозорою щодо вписаної в неї поверхні й кожну з них непрозорою стосовно себе. При цьому видимість обох поверхонь встановлюється незалежно одна від одної.

Учень (а, можливо, і вчитель) може висловити думку, що такий шлях виконання стереометричних побудов дещо складний і потребує чимало часу для його реалізації в кожному більш-менш непростому випадку. І це дійсно так. Але ж ми розглядали побудову зображень комбінацій геометричних тіл з теоретичним обгрунтуванням кожного кроку, з повним розумінням суті питання. Ми вчилися виконувати побудови циркулем і лінійкою, опираючись на наукову основу. А процес навчання, як відомо, мало коли буває простим і коротким. Якщо ж учень зрозумів і засвоїв усе, про що говорилося раніше, і в нього бракує часу на ретельне і графічно точне виконання побудов (на уроці чи при виконанні домашніх завдань), то, ввівши певні умовності, можна спростити і прискорити цей процес.


Рис. 2

Згадаємо, що в умові сформульованої задачі на побудову висота піраміди в два рази більша за діаметр кулі: SF =2FE. З урахуванням цього розглянемо прямокутний трикутник SКО (див. рис. 1). Тут SКО = 90, оскільки SК - дотична до головного меридіану поверхні. Очевидно, що гіпотенуза SО трикутника рівна трьом радіусам великого кола кулі (SО = 3R), а катет КО - радіусу (КО = R). Відомо також, що будь-який катет прямокутного трикутника є