LibRar.Org.Ua — Бібліотека українських авторефератів

Загрузка...

Головна Математика. Механіка → Алгоритмічні аспекти методу скінченних елементів

НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАЇНИ

IНСТИТУТ КIБЕРНЕТИКИ IМЕНI В.М. ГЛУШКОВА


На правах рукопису

Сбродова Галина Олександрiвна


УДК 519.6


АЛГОРИТМIЧНI АСПЕКТИ МЕТОДУ

СКIНЧЕНИХ ЕЛЕМЕНТIВ




01.01.07 – обчислювальна математика



Автореферат

дисертацiї на здобуття вченого ступеня

кандидата фiзико-математичних наук




Київ – 1998

Дисертацiя є рукопис.



Робота виконана на кафедрi чисельних методiв

математичної фiзики Київського унiверситету

іменi Тараса Шевченка.


Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

професор МАКАРОВ Володимир Леонідович,
Київський університет імені Тараса Шевченка,
факультет кібернетики, завідувач кафедрою
чисельних методів математичної фізики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор ПРИКАЗЧИКОВ Віктор Георгійович,

Київський університет імені Тараса Шевченка,
факультет кібернетики, кафедра обчислювальної
математики

кандидат фізико-математичних наук,

ЯКОВЛЄВ Михайло Федорович, старший
науковий співробітник Інституту кібернетики імені
В.М.Глушкова НАН України


Провідна установа - Львівський державний університет імені Iвана Франка,

факультет прикладної математики,

кафедра обчислювальної математики



Захист вiдбудеться "25" грудня 1998 р. о 11 годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 26.194.01 при Iнститутi кiбернетики iменi В.М.Глушкова НАН України за адресою: 252022, Київ-22, проспект Академiка Глушкова, 40.

З дисертацiєю можна ознайомитись в науково-технiчному архiвi Iнституту кiбернетики iменi В.М. Глушкова НАН України.


Автореферат розiсланий "25" листопада 1998 р.



Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради МОІСЕЄНКО В.В.


ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ


АКТУАЛЬНIСТЬ ТЕМИ

Одним iз найбiльш поширених методiв розв'язування задач математичної фiзики є метод скiнченних елементiв. Розвиток теорiї цього методу зв'язаний з iменами таких вiдомих математикiв, як Р. Курант, К. Фрiдрiхс, О.А. Самарськiй, Г.Стрег, Дж. Оден, I. Бабушка, Г.I. Марчук, С.Г. Мiхлiн, Ю.К. Дем'янович, О.Зинкевич, В.Г. Корнєєв та багатьох iнших. Разом з тим ряд алгоритмiчних аспектiв скiнченноелементних методiв лишилися вiдкритими, хоча вони й становлять значний iнтерес для практики. Серед них особливу роль вiдiграють питання про ефективну оцiнку сталих стiйкостi в рiзних нормах, бо вiд них залежить вибiр стратегiї триангуляцiї областi, обумовленiсть вiдповiдних алгебраїчних систем, а також величина сталих, що входять в апрiорнi оцiнки точностi скiнченноелементних апроксимацiй. Запропонована дисертацiя i присвячена дослiдженню вищевказаних питань. Крім цього, в нiй обгрунтовано комбiнований метод для розв'язування скiнченноелементної апроксимацiї задачi про згин пластин, який базується на маршовому методi та методi блочної верхньої релаксацiї, з оцiнкою алгоритмiчної складностi (трудомiсткостi), а також знайденi сталi в теоремах про продовження кусково-полiномiальних функцiй. Все це обумовлює актуальнiсть дисертацiйної роботи.

МЕТОЮ РОБОТИ є:

- ефективна алгоритмiчна реалiзацiя схем методу скiнченних елементiв для задач теорiї пружностi i маршевого методу;

- побудова предобумовлювача в iтерацiйних методах для знаходження розв'язку систем скiнченноелементних рiвнянь, що апроксимують задачу Дiрiхле для рiвняння Пуассона в областях складної форми;

- отримання ефективних оцiнок сталих стiйкостi курантовських апроксимацiй в метриках просторiв L2, W21, а також асимптотичного представлення сталих стiйкостi у випадку виродження трикутникiв;

- побудова близької до оптимальної триангуляцiї (a - триангуляцiї) для областей з границею, що належить до рiзних класiв гладкостi (неперервно-диференцйована, кусково-гладка границя з ненулевими кутами, а також кусково-гладка границя з внутрiшнiми нульовими кутами степеневих порядкiв);

- доведення теореми про продовження кусково-лiнiйних сiткових функцiй.

ЗАГАЛЬНА МЕТОДИКА ДОСЛIДЖЕННЯ.

В роботi застосовуються методи математичної фiзики, функцiонального аналiзу i обчислювальної математики.

НАУКОВА НОВИЗНА

Запропонована нова стратегiя побудови триангуляцiй в залежностi вiд гладкостi границi, знайденi ефективнi оцiнки параметрiв триангуляцiї i власних чисел квадратичних форм у випадку курантовських скiнчених елементiв. Одержанi ефективнi оцiнки сталих стiйкостi курантовських апроксимацiй в W21. Отримано асимптотичне представлення сталих стiйкостi у випадку виродження трикутникiв. Дано теоретичне обгрунтування маршевого методу для знаходження розв'язку рiзницевої схеми, зв'язаної з задачею про згин пластинки, знайденi оцiнки обчислювальної складностi вiдповiдного алгоритму.

ПРАКТИЧНА ЦIННIСТЬ

Результати, отриманi в дисертацiї, можуть знайти застосування в теоретичних дослiдженнях, пов'язаних з методом скiнчених елементiв для задач математичної фiзики, а також для практичного розв'язування деяких задач механiки твердого деформованого тiла.

АПРОБАЦIЯ РОБОТИ

Результати дисертацiї опублiкованi в 1 монографiї та 5 статтях, а також доповiдалися на кафедрi чисельних методiв математичної фiзики факультету кiбернетики Київського унiверситету iменi Тараса Шевченка i на науковому семiнарi лабораторiї методiв обчислень Науково-дослiдного iнституту математики i механiки iменi академiка В.I. Смiрнова Санкт-Петербургського унiверситету.

ОБ'ЄМ I СТРУКТУРА РОБОТИ

Дисертацiя складається iз вступу, трьох глав, трьох додаткiв, заключення та списку лiтератури. Дисертацiя написана на 157 сторiнках машинописного тексту, мiстить 5 малюнкiв i 12 таблиць.


ЗМIСТ РОБОТИ


В главi I розглянутий комбiнований метод для розв'язування скiнченоелементної апроксимацiї задачi про згин пластинки, що базується на маршевому методi i методi блочної верхньої релаксацiї та є бiльш ефективним у порiвняннi з iншими методами.

Розглянемо задачу згина пластики в прямокутнику

DDu(0) = f(x)

Для розв'язання цiєї задачi скористуємось наступною рiзницевою схемою В.Г.Корнєєва.

6/h3 [(2/h (-ui-1, j (0) + 2ui, j (0) - ui+1, j (0)) – (ui-1, j (1) + ui+1, j (1)) +

2/h(-ui, j-1 (0) + 2ui, j (0) - ui, j+1 (0)) - ui, j-1 (2) + ui, j+1 (2))] = f(xi).

1/h2 [(6/h (ui-1, j (0) - ui+1, j (0)) + 2(ui-1, j (1) + 4ui, j (1) + ui+1, j (1)) +

+ (-ui, j-1 (1) + 2ui, j (1) - ui, j+1 (1))] = 0.

1/h2 [(6/h (ui-1, j (0) - ui, j+1 (0)) + 2(ui, j-1 (2) + 4ui, j (2) + ui, j+1 (2)) +

+ (-ui-1, j (2) + 2ui, j (2) - ui+1, j (2))] = 0.

Тут uh(0), uh(1), uh (2) – сiтковi функцiї, якi вiдповiдають значенням uh(0), du(0)/dх1, du(0)/dх2, що заданi в вузлах хi прямокутної сiтки, причому ui = 0, якщо хi W, i= (i1, i2, i3). Систему рiзницевих рiвнянь запишемо у виглядi

My = f,

де


С = ВТ,






Введемо наступне сiмейство матриць:

Р-1 = 0, Р0 = 1,

В Рk = A Pk-1 – C Рk-2, k = 1, ..., n,

R-1 = 0, Р0