LibRar.Org.Ua — Бібліотека українських авторефератів

Загрузка...

Головна Математика. Механіка → Амальгамовані об'єднання граток і гратки нормальних дільників у вінцевих добутках

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка







ОДРІБЕЦЬ Сергій Петрович





УДК 512.54








АМАЛЬГАМОВАНІ ОБ'ЄДНАННЯ ҐРАТОК

І ҐРАТКИ НОРМАЛЬНИХ ДІЛЬНИКІВ

У ВІНЦЕВИХ ДОБУТКАХ







01.01. 06 — алгебра і теорія чисел



Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук
















Київ – 2001

Дисертацією є рукопис



Робота виконана на кафедрі алгебри та математичної

логіки механіко-математичного факультету Київського

національного університету імені Тараса Шевченка



Науковий керівник:доктор фізико-математичних наук,

професор

СУЩАНСЬКИЙ Віталій Іванович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри алгебри та математичної логіки, м. Київ.



Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор

ЛИМАН Федір Миколайович,

Сумський державний педагогічний університет

імені А. С. Макаренка, завідувач кафедри математики,

м. Суми;


кандидат фізико-математичних наук, доцент

БОДНАРЧУК Юрій Вікторович,

Національний університет "Києво-Могилянська академія",

кафедра математики, м. Київ.


Провідна установа: Львівський національний університет імені І. Франка,

кафедра алгебри і топології, Міністерство освіти і науки України, м. Львів.


Захист відбудеться " 5 " листопада 2001 року о 14 год. 00 хв. на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка за адресою:


03127, м. Київ-127, проспект акад. Глушкова, 6,

механіко-математичний факультет, ауд. 44 .

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці

Київського університету імені Тараса Шевченка

(м. Київ, вул. Володимирська, 58, к. 10).






Автореферат розісланий " 4 " жовтня 2001 р.






Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В. В. Плахотник

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вінцевий добуток є однією з найбільш уживаних конструкцій в сучасній теорії груп. Дослідженням будови вінцевих добутків присвячено численні публікації таких відомих фахівців з теорії груп як Л. А. Калужнін, Ф. Холл, Г. Бомслаг, А. Л. Шмелькін, Л. Ковач, П. Нейман, Х. Нейман, В. І. Сущанський та інші.

Результати щодо вінцевих добутків природним чином розділяються на два класи: дослідження будови і властивостей вінцевих добутків довільних груп та вивчення конкретних вінцевих добутків. До результатів другого типу слід віднести також численні дослідження з теорії мономіальних груп (О. Оре, Р. Крауч, П. Грей та інші).

Для довільного вінцевого добутку досліджено будову його центра, комутанта, виділено певні стандартні нормальні та характеристичні підгрупи, охарактеризовано класи спряженості, групи автоморфізмів та напівгрупи ендоморфізмів, встановлено умови, за яких вінцевий добуток має ті чи інші властивості, наприклад, розкладається в прямий добуток, є нільпотентним, допускає однозначне добування коренів, тощо (П. Нейман, Г. Бомслаг, Ж. Тітс – П. Лентуліс, Г. Лібек, Д. Паркер).

Серед вінцевих добутків конкретних груп найбільш вивченими є вінцеві добутки циклічних, елементарних абелевих, симетричних та знакозмінних груп (Л. А. Калужнін, А. Уїр, К. Бузаші, В. І. Сущанський, Ю. В. Боднарчук, Ю. В. Дмитрук та інші).

Хоча в роботах різних авторів розглядались ті чи інші нормальні дільники вінцевих добутків, дослідження ґратки нормальних дільників в цілому для вінцевих добутків майже не проводилося. Єдиною роботою в цьому напрямку є стаття Г. Сілкока1, в якій показано, що кожна скінченна дистрибутивна ґратка може бути реалізована як ґратка нормальних дільників деякого вінцевого добутку груп. Це свідчить, зокрема, що ґратки нормальних дільників у вінцевих добутках можуть бути досить різноманітними, а їх вивчення є актуальною задачею теорії груп. Розгляду цієї задачі й присвячена дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з дослідженнями кафедри алгебри і математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка, які ведуться за науково-дослідною темою "Теорія алгебраїчних систем та їх зображень і її застосування" (номер державної реєстрації 0197U003160).

Мета і задачі дослідження.

Охарактеризувати в цілому ґратку нормальних дільників вінцевого добутку групи підстановок та абстрактної групи.

Описати конструкції над ґратками, за допомогою яких можна отримати ґратку нормальних дільників вінцевого добутку, виходячи з будови аналогічних ґраток його компонент.

Описати ґратки нормальних дільників силовських p - підгруп скінченної симетричної групи та силовських p - підгруп класичних лінійних груп над скінченнями полями характеристики, відмінної від p.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі отримано такі результати:

введено поняття жорсткого гомоморфізму родини ґраток; описано перетворення ґраток, які визначаються жорсткими гомоморфізмами родин ґраток; досліджено умови, за яких перетворені об'єкти знову є ґратками;

введено поняття амальгамованого об'єднання та розшарованого добутку частково впорядкованих множин; в термінах таких понять описано будову ґраток нормальних дільників вінцевих добутків груп підстановок з абстрактними групами; охарактеризовано клас абстрактних груп, для яких ґратка нормальних дільників є перетворенням аналогічної ґратки пасивного множника, що визначається спеціальними жорсткими гомоморфізмами;

охарактеризовано ґратки нормальних дільників силовських p - підгруп симетричних груп і силовських p - підгруп класичних лінійних груп над скінченними полями характеристики, відмінної від p.

Практичне значення одержаних результатів. Усі отримані результати є новими. У дисертаційній роботі використовуються методи теорії частково впорядкованих множин, зокрема, теорії ґраток та методи теорії груп підстановок. Запропоновані конструкції над частково впорядкованими множинами та перетворення ґраток можуть бути використані при дослідженнях ґраток нормальних дільників інших груп, зокрема, інших типів ітерованих вінцевих добутків.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи одержано самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати, отримані в дисертації, доповідалися на семінарі "Теорія груп та напівгруп" у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, на алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка, на V та VІІІ Міжнародних конференціях імені М. Кравчука (Київ, 1996 р., 2000 р.); на конференції молодих математиків "Сучасна алгебра та її застосування", присвяченій 40-річчю кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 1999 р.)

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 6 наукових роботах [1 – 6]. З них [2], [3], [5],