LibRar.Org.Ua — Бібліотека українських авторефератів


Головна Математика. Механіка → Математичне моделювання коливань рідини в баках з перегородками

проводяться чисельні експерименти.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

  • побудований спеціальний метод тригонометричної колокації, за допомогою якого дискретизується необмежений операторний коефіцієнт у двовимірних та тривимірних задачах;

  • знайдені і обгрунтовані оцінки похибки тригонометричної інтерполяції;

  • побудовані дискретні моделі лінійного коливання рідини в баках з ребрами –перегородками;

  • доведена монотонність резонансних частот коливань вільної поверхні в баках з ребрами в залежності від зміни параметрів, що визначають положення і ширину ребер;

  • знайдені і обгрунтовані оцінки похибки повної дискретної апроксимації чисельно –аналітичного методу розв'язування задачі, що моделює коливання рідини в баку.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертації, можуть бути використані при конструюванні баків, при дослідженні властивостей коливання вільної поверхні.

Особистий внесок здобувача полягає в тому, що всі результати, які становлять суть дисертаційної роботи, отримані здобувачем особисто. В публікаціях [6–9], які написані в співавторстві, проф. Макарову В.Л. і проф. Гаврилюку І.П. належать постановка задачі та участь в обговоренні теоретичних результатів та результатів чисельних експериментів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались і обговорювались на міжнародному симпозіумі "Питання оптимізації обчислень" (Київ, 1999), на наукових семінарах Інституту кібернетики НАН України імені В.М. Глушкова (2000, 2001), факультету математики і інформатики Ляйпцігського університету (Ляйпціг, 1999), "Математичні проблеми механіки та обчислювальна математика" (Інститут математики НАН України, 2000), "Сучасні проблеми обчислювальної математики" (Львівський університет імені І. Франка, 2000).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в чотирьох друкованих працях [6-9], з яких три статті у виданнях із переліків, затверджених ВАК України, одна стаття у міжнародному іноземному журналі.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 127 сторінок, містить 3 таблиці, 9 рисунків, 80 найменувань у списку використаних джерел.


ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ


У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, вказано мету та основні напрями її досягнення, наукова новизна та апробація результатів.

У першому розділі зроблено огляд наукових праць за темою дисертації та аналіз сучасного стану проблеми. На прикладі лінійної еволюційної задачі першого порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом [1] побудований наближений розв'язок задачі, який є комбінацією методу перетворення Келі з методом тригонометричної колокації. Отримана повна дискретна апроксимація розв'язку вихідної задачі.

Постановка задачі. Потрібно знайти розв'язок задачі


(1)


де псевдодиференціальний оператор А визначається формулою


, (2)


а функція є розв'язком наступної крайової задачі:


(3)

.

У другому розділі розглядається лінійна еволюційна задача другого порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом. Для операторного коефіцієнта пропонується відповідна процедура тригонометричної колокації, будується повна дискретна апроксимація розв'язку задачі (1).

Розв'язуючи (3) методом розділення змінних та використовуючи (2), ми отримаємо наступне представлення оператора А із (1):


. (4)


Для апроксимації оператора А побудуємо інтерполяційний поліном з класу - тригонометричних поліномів у вигляді


.


Нехай - рівномірна сітка на інтервалі [0, 2p] і u(x) – функція, визначена на [0, 2p]. Визначимо інтерполяційний оператор і інтерполяційний поліном як



Інтерполяційний поліном можна подати через тригонометричні поліноми Лагранжа


, (5)


де фундаментальні інтерполяційні поліноми представляються у вигляді


(6)


Використовуючи формули (6), доводимо наступний результат.

Теорема 2.1. Для тригонометричної поліноміальної інтерполяції має місце похибка



для , де с- константа, незалежна від p та q, де - гільбертовий простір,

.

Нехай - простір тригонометричних поліномів вигляду



та – інтерполяційний поліном для функції u(х), парної відносно точки х=? (u(x)=u(2р-x)), який реалізується у вузлах . Використовуючи результат [2] та враховуючи парність u(x), можна записати інтерполяційний поліном у вигляді


, (7)


де .

Для цієї інтерполяції має місце наступна оцінка:



для , де с- константа, незалежна від p та q.

Щоб зробити дискретизацію оператора А, ми обчислюємо і робимо колокацію у вузлах сітки щN .

Має місце наступна теорема.

Теорема 2.2[3]. Нехай А –додатно визначений оператор, тоді розв'язок (1) подається у вигляді


,


де дійсне число, -поліноми Лагерра і un визначається з послідовності рівнянь


(8)


За природне наближення до функції u(t) можна взяти часткову суму (напівдискретна модель)


(9)


Наступна теорема показує, що якість наближення (9) автоматично залежить від початкових даних u0 .

Теорема 2.3[4]. Нехай виконуються умови теореми 2.2, тоді має місце наступна оцінка:


,


якщо , де с –довільна константа.

Зауважимо, що оператор А, який визначається через (4), не є додатно визначеним, тому робиться модифікація теореми 2.2.

Замінюючи u0 інтерполяційним поліномом , ми отримаємо задачу



і, покладаючи ,

де , , ,

ми визначимо повну дискретну апроксимацію для u1(t,x) як


,


де визначаються з послідовності (8).

Теорема 2.4. Для похибки повної дискретної апроксимації розв'язку задачі (1) має місце наступна