LibRar.Org.Ua — Бібліотека українських авторефератів

Загрузка...

Головна Математика. Механіка → Алгебраїчні многовиди та поля алгебраїчних функцій над псевдоскінченними полями


КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА









АНДРІЙЧУК Василь Іванович





УДК 513.6




АЛГЕБРАЇЧНІ МНОГОВИДИ ТА ПОЛЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ФУНКЦІЙ НАД ПСЕВДОСКІНЧЕННИМИ ПОЛЯМИ








01.01.06.- алгебра і теорія чисел






АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук











КИЇВ - 2002


Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка.



Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Дрозд Юрій Анатолійович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

професор кафедри алгебри і математичної логіки;

доктор фізико-математичних наук,


Новіков Борис Володимирович,

Харківський національний університет

імені В.Н.Каразіна,

старший науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук,


професор Янчевський В'ячеслав Іванович,

Інститут математики НАН Білорусії,

завідувач відділу алгебри.



Провідна установа: Ужгородський державний університет, кафедра алгебри.




Захист відбудеться 14 червня 2002 року о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26001.18 при Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 01017, м.Київ,

проспект акад.Глушкова, 6, Київський національний університет ім. Т.Шевченка, механіко-математичний факультет.




З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного

університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).





Автореферат розіслано 7 травня 2002 року.






Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.В.Плахотник


ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ


Актуальність теми: Об'єкт дослiдження даної роботи - арифметичнi властивостi алгебраїчних многовидiв над псевдоскiнченними полями.

Поле k називають псевдоскiнченним, якщо воно має такi властивостi:

1) k - досконале;

2) k має єдине розширення степеня n для кожного натурального числа n;

3) k - псевдоалгебраїчно замкнене, тобто кожний непорожнiй абсолютно незвiдний многовид, визначений над полем k, має k - рацiональну точку.

Зазначимо, що якщо поле k має лише властивостi 1) i 2), то його називають квазiскiнченним.

Псевдоскiнченнi поля були введенi Дж.Аксом у 1968 роцi. Дж.Акс зауважив, що з гiпотези Рiмана для кривих над скiнченними полями випливає, що неголовнi ультрадобутки скiнченних полiв є псевдоалгебраїчно замкненими полями i, використовуючи це, показав, що теорiя скiнченних полiв є рекурсивно розв'язною. Крiм ультрадобуткiв у якостi прикладiв псевдоскiнченних полiв можна назвати нескiнченнi алгебраїчнi розширення скiнченних полiв, якi мають скiнченний p-примарний степiнь для кожного простого числа p. М.Жарден показав, що коли поле k є скiнченно породженим розширенням поля рацiональних чисел Q, то для майже всiх (вiдносно мiри Хаара) σ Gal(/k) пiдполе kσ, що складається з iнварiантних вiдносно σ елементiв алгебраїчного замикання поля k, є псевдоскiнченним. Тому псевдоскiнченнi поля є корисними i при вивченнi класичних полiв. Першим термiн "псевдоалгебраїчно замкнене поле" ввiв Г.Фрей у роботi, присвяченiй вивченню псевдоалгебраїчно замкнених полiв з нормуваннями.

Одним з перших застосувань псевдоскiнченних полiв та ультрадобуткiв локальних полiв було доведення"з точнiстю до скiнченного числа простих чисел" вiдомої гiпотези Артiна: для кожного натурального числа d>0 iснує скiнченний набiр А (залежний вiд d) простих чисел, такий, що для кожного простого числа p A в полi p-адичних чисел Qp кожна форма степеня d вiд n>d2 змiнних має нетривiальний нуль.

Глибокi зв'язки теорiї псевдоалгебраїчно замкнених (i, зокрема, псевдоскiнченних полiв) з теорiєю чисел обумовленi теоремою щiльностi Чеботарьова.

Наприклад, ймовiрнiсть того, що задане елементарне висловлення Ф вiрне в полi Qσ (полi iнварiантних вiдносно автоморфiзму σ Gal(/Q) елементiв алгебраїчного поля Q) дорiвнює щiльностi Дiрiхле множини простих чисел, для яких висловлення Ф вiрне в полях Fp.

У дисертацiї розглядаються алгебраїчнi многовиди, визначенi над псевдоскiнченними полями. Оскiльки псевдоскiнченнi поля - це нескiнченнi моделi скiнченних полiв, то багато властивостей алгебраїчних многовидiв над псевдоскiченними полями аналогiчнi вiдповiдним властивостям многовидiв над скiнченними полями. Напрямок нашого дослiдження многовидiв над псевдоскiнченними полями суттєво використовує методи i результати теорiї полiв класiв. Iсторично першими i найпростiшими алгебраїчними многовидами є алгебраїчнi кривi. Поле функцiй К на незвiднiй алгебраїчнiй кривiй, визначенiй над скiнченним полем k, є полем алгебраїчних функцiй вiд однiєї змiнної з полем констант k. Це поле має багато спiльних властивостей з полем алгебраїчних чисел. Вже давно цi два типи полiв вивчають разом i називають глобальними полями. Одною з вершин теорiї глобальних полiв є теорiя полiв класiв цих полiв, яка дає описання всiх скiнченних розширень Галуа глобального поля з абельовою групою Галуа. Основи цiєї теорiї були закладенi Кронекером, Вебером i Гiльбертом ще в кiнцi XIX ст. Фундаментальний крок у побудовi теорiї полiв класiв числового поля належить Е.Артiну, який зрозумiв важливiсть явної побудови канонiчного iзоморфiзму вiдносної групи класiв дивiзорiв на групу Галуа вiдповiдного абельового розширення. Вiн показав, що цей iзоморфiзм одержується за допомогою вiдповiдностей мiж класами простих дивiзорiв i так званими автоморфiзмами Фробенiуса розширення L/К числового поля К вiдносно дивiзорiв v. В даний час згаданий iзоморфiзм визначають за допомогою символу Артiна, означення якого мiститься в роздiлi I основного тексту дисертацiї. У щойно згаданiй роботi Артiн довiв закон взаємностi, використавши iдеї Чеботарьова, якi дозволили одержати посилення теореми Фробенiуса.

Посилення Чеботарьова теореми Фробенiуса тепер називають теоремою щiльностi Чеботарьова. Вiдомо, що не лише числовi поля мають властивiсть, сформульовану в теоремi Фробенiуса чи теоремi щiльностi Чеботарьова.

У роздiлi I дисертацiйної роботи доведено, що для полiв алгебраїчних функцiй з псевдоскiнченними полями констант вiрнi певнi аналоги теореми щiльностi Фробенiуса та теореми щiльностi Чеботарьова.

Г.Гассе у другiй половинi 20-их рокiв XX ст. та на початку 30-их рокiв дав означення символу норменного лишку для локального поля, виявив його зв'язки з символом Гiльберта, та з теорiєю алгебр над числовими i локальними полями. Для числового