LibRar.Org.Ua — Бібліотека українських авторефератів

Загрузка...

Головна Математика. Механіка → Алгебри з додатковими структурами та їх зображення

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

СТРІЛЕЦЬ Олександр Вікторович

УДК 517.986.9

АЛГЕБРИ З ДОДАТКОВИМИ

СТРУКТУРАМИ ТА ЇХ ЗОБРАЖЕННЯ

01.01.01 -- математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ -- 2002

Дисертацією є рукопис.


Робота виконана в Інституті математики НАН України.


Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу функціонального аналізу. Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, КОЧУБЕЙ Анатолій Наумович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь у частинних похідних; кандидат фізико-математичних наук, КАШПІРОВСЬКИЙ Олексій Іванович, Національний університет <<Києво-Могилянська академія>>, старший викладач. Провідна установа: Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна МОН України, м. Харків.



Захист відбудеться << 25 >> грудня 2002 року о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.


З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.


Автореферат розісланий << 22 >> листопада 2002 року.


Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А. С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота належить до одного з напрямків сучасного аналізу -- теорії зображень алгебр з додатковими структурами операторами в гільбертовому просторі. Ця теорія має різноманітні застосування в математичній фізиці, аналізі, топології тощо. Зокрема, вона знаходить застосування при побудові моделей теоретичної фізики; в теорії квантових однорідних просторів і їх застосуваннях для побудови точних розв'язків диференціальних рівнянь у частинних похідних; при вивченні аніонних статистик та їх застосуваннях, зокрема до вивчення дробового квантового ефекту Хола; при побудові символів оборотності сингулярних інтегральних операторів; при вивченні певних класів несамоспряжених операторів; при побудові топологічних інваріантів вузлів тощо.

У дисертаційній роботі вивчаються алгебри з такими додатковими структурами, які дозволяють розглядати її зображення в гільбертових просторах операторами (обмеженими чи необмеженими), і вивчаються властивості таких зображень. Техніка функціонального аналізу і теорії операторів у гільбертовому просторі застосовується до вивчення алгебр, відповідних операторних алгебр та їх зображень.

Структурами такого типу є інволюція ($*$-алгебри), виділення твірних і співвідношень (скінченнопороджені алгебри та скінченнозадані алгебри), операторна структура (абстрактні операторні алгебри), топологія (топологічні, полінормовані, банахові алгебри та інші), а також комбінації цих структур ($C^*$-алгебри, скінченнопороджені $*$-алгебри, топологічні $*$-алгебри тощо). Зображення відповідних алгебр розглядаються узгодженими з цими структурами, що звужує множину зображень, але дозволяє проводити більш детальне їх вивчення. Крім того, факти теорії зображень, узгоджених з такими додатковими структурами, можуть бути застосовані до вивчення самої алгебри (вже без додаткової структури в ній) та її зображень.

Перші результати з теорії зображень, зокрема теорії зображень $*$-алгебр, були одержані в кінці XIX -- на початку XX сторіччя Г. Фробеніусом, І. Шуром, В. Бернсайдом, Ф. Е. Моліним та іншими.

Для групових алгебр $*$-структура виділяє унітарні зображення відповідних груп. Розвиток теорії зображень $*$-алгебр у 30-60 рр. XX сторіччя обумовлений значною мірою застосуваннями у теорії унітарних зображень груп і пов'язаний з вивченням самоспряжених операторних алгебр, зокрема $C^*$-алгебр та $W^*$-алгебр (Дж. фон Нейман, Дж. Діксм'є, І. М. Гельфанд, М. А. Наймарк, Д. А. Райков, А. А. Кирилов, І. Сігал та інші).

Подальший розвиток теорії зображень $*$-алгебр пов'язаний з відкриттям у 80-х рр. квантових груп і квантових однорідних просторів (В. Г. Дрінфельд, М. Джимбо, С. Воронович, Л. Д. Фадєєв, С. Клімек, А. Лісневський та інші) та їх застосуваннями у моделях математичної фізики, теорії спеціальних функцій, моделях $q$-квантової механіки, квантової теорії поля (Б. Зуміно, Дж. Весс, Е. Віттен, А. У. Клімик та інші).

Сучасні роботи по теорії зображень $*$-алгебр значною мірою присвячені вивченню алгебр, заданих твірними і співвідношеннями, та їх зображень. Значна кількість прикладів таких $*$-алгебр пов'язана з деформаціями класичних співвідношень квантової механіки (А. Макфарлейн, Л. Біеденхарн, С. Воронович, К. Шмюдген, П. Йоргенсен, Д. Б. Фарлі та інші), аніонними статистиками (Г. Голдін, В. Шарп, Р. Менікофф та інші) і їх застосуваннями, зокрема до дробового квантового ефекту Хола (Р. Логлін, Ф. Вілчек, Б. Халперін, И. Чен, Е. Віттен та інші). Цікаві приклади $*$-алгебр та їх зображень, пов'язані з теорією вузлів, вивчалися у роботах В. Джонса (1980-2000 рр.).В роботах С. А. Кругляка, В. І. Рабановича, Ю. С. Самойленко (2000-і рр.) розв'язуються задачі опису зображень алгебр, які породжені скінченною кількістю самоспряжених ідемпотентів, сума яких кратна одиниці. У дисертаційній роботі (другий розділ) вивчаються деякі скінченнозадані алгебри, інволюції в них та їх зображення.

У 90-x рр. XX сторіччя почала розвиватися теорія абстрактних операторних просторів, алгебр та модулів (Е. Еффрос, З.-Дж. Руан, Д. Блетчер, В. Полсента інші). Як і теорії $C^*$-алгебр та $W^*$-алгебр ця теорія дає абстрактний підхід до вивчення алгебр обмежених операторів у гільбертовому просторі, але дозволяє також вивчати і несамоспряжені підалгебри (та підпростори) алгебри всіх обмежених операторів у гільбертовому просторі. У дисертаційній роботі (перший розділ) вивчаються операторні просторові модулі.

Разом з теорією операторних алгебр і зображень $*$-алгебр обмеженими операторами розвивається та застосовується теорія алгебр необмежених операторів та теорія зображень $*$-алгебр необмеженими операторами (Е. Нельсон, Р. Гудман, М. Флато, Р. Пауерс, Дж. Сімон, К. Шмюдген, А. Іню, А. Малліос, М. Фраголопулота інші).

У теорії зображень як обмеженими, так і необмеженими операторами, одним з важливих питань є питання існування точного зображення даної алгебри. Відома теорема Гельфанда-Наймарка дає необхідні та достатні умови того, щоб банахова $*$-алгебра була ізоморфною самоспряженій рівномірно замкненій алгебрі обмежених операторів. Аналог теореми Гельфанда-Наймарка у випадку несамоспряжених нормованих