LibRar.Org.Ua — Бібліотека українських авторефератів

Загрузка...

Головна Технологія металів. Машинобуд. → Плоскі контактні задачі для тіл з узгодженими поверхнями з урахуванням зчеплення та фрикційного проковзування

півдовжина просвіту , коефіцієнт концентрації дотичних контактних напружень для різних довжин ділянки проковзування і набуває значень N = 3 і N = 2.6 відповідно.

Далі розглянуто контакт тіл, одне з яких має поверхневу виїмку форми (10), за простого навантаження, історію якого зображено на рис. 6. Простим навантаженням тіл, що контактують, називають 2 одночасне навантаження монотонно зростаючими нормальними і зсувними зусиллями, відношення між якими в кожен момент часу зберігається сталим. У нашому випадку до тіл на нескінченності одночасно прикладаються монотонно зростаючі стискальні P та зсувні S зусилля, між якими в кожен момент часу існує лінійна залежність S = kP (0 < k < f, f – сталий коефіцієнт тертя). За такого навантаження межі тіл в області виїмки одночасно зближуються і зсуваються одна відносно іншої на ділянці просвіту. Тому, вступаючи в контакт на нових ділянках, прилеглих до країв виїмки x = b, поверхні налягають, маючи попередній відносний зсув U(x). Він не змінюється на цих ділянках з подальшим зменшенням зазору, бо сконтактовані границі (a < |x| < b) перебувають у зчепленні і на них виникають дотичні напруження , які утримують їх від відносного проковзування. Попередня поздовжня деформація сконтактованих поверхонь, яка в процесі подальшого простого навантаження не змінюється, називається „защемленою" деформацією 2.

Така контактна рівновага тіл на всій ділянці із „защемленою" деформацією реалізується, якщо контактні дотичні напруження залишаються обмеженими:

|txy| < , a x b; (15)

і не перевищують контактного тиску, помноженого на коефіцієнт тертя:

|txy(x, 0)| < f |sy(x, 0)|, a x b. (16)

Умова незмінності „защемленої" деформації меж тіл дає змогу записати відносний зсув поверхонь у вигляді U(x) = U0(x) + DU(x), де U0(x) – відносний зсув за повного закриття зазору, а функція DU(x) описує відхилення від U0(x) відносного зсуву U(x) за наявності зазору. Задачу зведено до СІР (12) на висоту зазору та СІР на відносний зсув поверхонь тіл

(17)

Висота і довжина зазору мають вигляд (14). Враховуючи зв'язок між стискальним навантаженням і довжиною зазору P = 3r0 (1 – a2 / b2) / (2Kb) та умову простого навантаження S = kP, зсувне навантаження S у правій частині СІР (17) виражаємо через a: S = 3r0k (1 – a2 / b2) / (2Kb). Позначивши через дотичні напруження, які виникають при повному закритті зазору, з рівняння (17) при a = 0 одержимо

. (18)

Віднявши рівняння (18) від рівняння (17), отримаємо СІР на функцію DU'(x)

. (19)

Для виконання умови обмеженості дотичних напружень (15) необхідно, щоб функція DU'(x) була рівна нулеві при x = a. З умови існування такого обмеженого розв'язку рівняння (19), отримаємо на функцію рівняння Абеля

, 0 < a < b.

Розв'язавши це рівняння, знайдемо . Далі, знаючи , знаходимо розв'язки рівнянь (19) та (18), сума яких дає відносний зсув меж тіл

Дотичні напруження на ділянках контакту в межах виїмки a < |x| < b мають вигляд .

На рис. 7 і рис. 8 зображено розподіли відносного зсуву меж півплощин на ділянці виїмки і контактних дотичних напружень для різних значень стискального навантаження (1–;
2–; 3–; 4–). З його збільшенням відносний зсув зростає, досягаючи максимуму в центрі виїмки (рис. 7). Крива 4 відповідає навантаженню, за якого зазор повністю закриється. Для менших значень навантаження криві 1–3 складаються з трьох частин – центральної, що відповідає ділянці зазору для даного навантаження, та двох симетричних бічних, які лягають на криву 4 і відповідають сконтактованим поверхням, що відображає закладений в постановці задачі принцип "защемленої" деформації. Дотичні контактні напруження зі збільшенням навантаження зростають, а їх максимум досягається на краю виїмки (рис. 8). З віддаленням від виїмки вони наближаються асимптотично до значення зсувних зусиль на нескінченності. Виявилось, що контактні дотичні напруження в кожній точці пропорційні контактним нормальним напруженням з тим самим коефіцієнтом пропорційності k, що і зовнішні зусилля між собою. Цей висновок узгоджується з відповідним результатом для випадку локального контакту тіл за простого навантаження 2. Саме цей висновок, враховуючи, що k менший за коефіцієнт тертя (k < f), засвідчує, що і друга умова фізичної коректності (16) побудованого розв'язку теж задоволена.

Знайдено аналітичний розв'язок задачі тоді, коли форма виїмки задається двічі неперервно-диференційованою функцією r(x) = –r0(1 – x2 / b2)5/2, |x| < b.

У п'ятому розділі досліджується локальне проковзування тіл з плоскими поверхнями під внутрішньою зосередженою силою.

Спершу розглянуто півплощини D1 та D2, матеріали яких мають неоднакові пружні характеристики (модулі зсуву G1, G2, коефіцієнти Пуассона n1, n2). Півплощини контактують під дією рівномірно розподілених на нескінченності стискальних зусиль P, нормальних до лінії спряження, та паралельних до неї стискальних зусиль p1 і p2, прикладених відповідно до D1 і D2, таких що повздовжні переміщення обох меж однакові і між ними не відбувається взаємне проковзування. Після цього у внутрішній точці (0, y0) верхньої півплощини прикладено довільно орієнтовану зосереджену силу F. Аналіз контактних нормальних та дотичних напружень показав, що залежно від пружних характеристик матеріалів тіл, величини і напряму сили F та глибини її прикладання y0, умова зчеплення (2) або справджується на всій поверхні спряження, або порушується на одній чи двох ділянках. Є можливим і відшарування, коли умова одностороннього контакту sy(x, 0) < 0 не виконується на деякій ділянці. Виявлено, що проковзування передуватиме появі відшарування. Сформульовано контактну задачу про проковзування під внутрішньою силою вздовж двох ділянок L1 = (a1, b1), L2 = (a2, b2), яку зведено до системи двох СІР другого роду на похідні від функцій відносного зсуву меж півплощин U1(x) на L1 і U2(x) на L2

де коефіцієнти M1 і M2 визначаються через пружні сталі матеріалів півплощин.

Для визначення координат ділянок проковзування використовуються умови U'j(aj) = 0, U'j(bj) = 0, j = 1,2, за виконання яких контактні дотичні напруження будуть обмеженими на краях цих ділянок.

Далі досліджується контакт півплощин, матеріали яких однакові, коли прикладена у внутрішній точці (0, y0) тіла D2 зосереджена сила F, перпендикулярна до лінії спряження, зумовлює відшарування і появу зазору висотою h(x), довжиною 2a та двох ділянок проковзування (–c, –a), (a, c), на яких діють сили тертя. Задачу зведено до системи двох СІР на похідні функцій висоти зазору та відносного зсуву поверхонь

, (20)

, (21)

де

Функції h(x) та U(x) задовольняють умови (8).

Визначені аналітично з рівняння (20) та умов (8а), (8б) висота h(x) і півдовжина a зазору збігаються з відповідними величинами, отриманими під час розв'язання задачі про відшарування внутрішньою зосередженою силою взаємно притиснутих півплощин за безфрикційного контакту між ними. Довжина зазору залежить від зовнішнього навантаження, величини сили та глибини її прикладання. Розв'язок рівняння (21) з використанням формули обернення СІР, записано в квадратурах. Для числового визначення відповідних інтегралів використано кусково-лінійну